Abitur 1999 Leistungskurs Mathematik Gruppe I, Analysis, Aufgabe 1
Lösung
Eine gedämpfte Schwingung kann durch folgende Funktion dargestellt werden (k>0, omega>0, reell):
Funktion:
> restart:with(plots):
> ys:=D(y):
> yss:=D(ys):
> T:=2*Pi/omega:
>
> y:=t->exp(-k*t)*sin(omega*t);
Erste Ableitung:
> ys(t);
Zweite Ableitung:
> yss(t);
a) Zeigen Sie, daß y(t) folgende Differentialgleichung erfüllt:
Es gilt:
> dg:=yss(t)+2*k*ys(t)+(omega^2+k^2)*y(t)=0;simplify(dg);
> #4 VP
Bestimmen Sie die Nullstellen, die Extrempunkte und die Wendestellen für allgemeine Parameter.
Nullstellen:
> solve(y(t+T),t); # Periodizität im Ansatz
Extremwerte:
> sols:=solve(ys(t+T),t);
> y[extr]=y(sols);
Zum y-Wert der Extrema: Es gilt
> `sin(arctan(c))`=sin(arctan(c));
Wendestellen:
> solss:=solve(yss(t+T),t);
Zur Lösung: Nachweis der "Periodizität" verlangt!
> #4 VP
Zeichnen Sie y(t) für k=0, 1 und 5 und omega=2*Pi
> omega:=2*Pi:plot({seq(y(t),k=0..5)},t=0..2*T);
Wie verändert der Parameter k die Lage der Extrema? Besitzt die Kurvenschar y(k,t) gemeinsame Punkte?
Besitzt die Kurvenschar y'(k,t) gemeinsame Punkte?
> omega:='omega':k:='k':
> diff(sols,k);
Keine gemeinsamen Punkte der Kurvenschar y'(k,t)
> #4 VP
y-Werte der Wendepunkte:
> solss;
> y(solss);
b) Zeigen Sie, daß die Maxima der Funktion eine geometrische Folge bilden und geben Sie diese Folge in rekursiver und expliziter Schreibweise für k=1 und omega=1 an.
> i:='i':k:='k':omega:='omega':y1:='y1':
> sols;y1:= y(sols);
> y2:=simplify(y(sols+T));
Setzt voraus, daß "Periodizität" gezeigt ist
> q:=simplify(y2/y1);
> k:=1: omega:=1:
> f[n+1]=f[n]*q;
Mit
> f[0]:=y(sols);
Bzw.
> f[n]=f[0]*q^n;
> #4 VP
Wie groß ist der Grenzwert der zugehörigen geometrischen Reihe?
Zunächst ohne f0:
> s:=sum(q^n,n=0..m-1);
> s:=simplify(s);
> ls:=limit(s,m=infinity);
Also Grenzwert der geom. Reihe:
> S:=f[0]*ls;
> evalf(S);
Die Flächenstücke, die y(t) oberhalb der t-Achse mit der t-Achse einschließt, haben näherungsweise zwei Drittel des Inhalts der Rechtecke, die so hoch sind wie die Maxima und so breit wie der Abstand zweier Nullstellen. Wie groß ist also der Inhalt der Fläche, die oberhalb der positiven t-Achse liegt? Die Näherung gilt auch für die Minima. Wie groß ist dann
> Int(y(t),t=0..infinity);
näherungsweise? Berechnen Sie obiges Integral exakt.
Hier zunächst die exakte Berechnung
> k:='k':omega:='omega':
> int(y(t),t=0..infinity);
Das ist übrigens die Laplace-Transformierte von sin(omega*t)
> laplace(sin(omega*t),t,k);
Von Hand benötigt man zwei partielle Integrationen und lim -> oo
> #4 VP
>
>
Die angenäherten Flächeninhalte der Kurvenstücke über der t-Achse erhält man aus dem Grenzwert der geom. Reihe durch Multiplikation mit 2/3*T/2. (Die Näherung kommt übrigens so zustande: quadratische Interpolation und Flächeneigenschaft der Parabel, sprich Faßregel)
> k:=1:omega:=1:
> S;
> S*T/3;
> evalf(");
>
>
>
Fläche unter der t-Achse:
Erstes Minimum
> y(sols+T/2);
> evalf(");
Gesamte Fläche unter der t-Achse
> "*ls*T/3;
> evalf(");
(Unter uns Physikern: omega^2+k^2 ist das Quadrat der Eigenfrequenz ohne Dämpfung. Und: welche orientierte Fläche schließt die sin-Kurve (k->0) mit der positiven t-Achse ein? Das wäre doch mal eine schöne offene Fragestellung!)
> #4 VP
>
> k:='k':omega:='omega':
> y(t);
> sols:=solve(diff(y(t),t),t);
>
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Für die Abi-Aufgabe von morgen:
Test der Güte der Näherung in Abhängigkeit von omega und k
> k:='k':omega:='omega':
> recht:=y(sols)*T/3;
> uint:=int(y(t),t=0..T/2);
> del:=uint-recht;
> k:=1:omega:=1:evalf(del);
> k:=1:omega:=10:evalf(del);
> k:=10:omega:=10:evalf(del);
> k:=0.0001:omega:=1:evalf(del);
Da könnte man jetzt schöne 3D-Plots machen und interpretieren!
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c) Neben dem exponentiellen Abklingen einer Schwingung kommt auch ein Abklingen vor, das umgekehrt proportional zur Zeit ist. Man kann die Typen des Abklingens so vergleichen:
> expo:=(1+a)^(-t); gebr:=1/(1+a*t);
Skizzieren Sie die beiden Kurven für a=1.
> a:=1:
> plot({expo,gebr},t=0..10);
>
> #2 VP
Geht man von der reellen Zeit t zu einer Folge natürlicher Zahlen n>1 über und setzt man a>-1 (reell) voraus, so läßt sich zeigen, daß mit
> a:='a':
> expo:=(1+a)^(-n); gebr:=1/(1+a*n);
> expo<gebr;
gilt.
Dazu geht man von der gegebenen Ungleichung zu den Kehrwerten über (Ungleichung von Bernoulli):
> kugl:=simplify(1/expo>1/gebr);
Induktions-Anfang:
> n:=2:
> evalb(kugl);
> expand(kugl);
> assume(a>-1);
> evalb(");
> n:=m;
> kugl;
Induktionsanfang:
> anf:=simplify(kugl);
Induktionsschritt:
> n:=m+1:
> schritt:=simplify(kugl);
> expand(");
> subs((1+a)^m=1+m*a,");
> expand(");
O.K.?
> #4 VP
>