a)

Stellen Sie die Differentialgleichung für den Zerfall der Kernsorte A mit der Zerfallskonstanten a auf (mit Erläuterung) und ermitteln Sie damit eine allgemeine Funktion für die Anzahl der Kerne in Abhängikgeit von der Zeit.

> restart:with(plots):

>

Die Zerfallsrate der aktiven Kerne ist gleich der Aktivität:

> dgl:=diff(A(t),t)=-a*A(t);

>

Lösung der DGL

> sol:=dsolve({dgl,A(0)=A0},A(t));

> assign(sol):A:=unapply(A(t),t);

Das ist die Zahl der aktiven Kerne als Funktion der Zeit.

>

> # 4VP

>

Geben Sie durch Integration der Aktivität eine Funktion für die Zahl der zerfallenen Kerne an.

Zweckmäßig: Beginn des Zerfalls zum Zeitpunkt Null.

> Z:=int(a*A(tau),tau=0..t);

>

Ohne Integration

> 'Z'=A0-A(t);

>

> # 3VP

>

Konkretes Beispiel:

> A0:=10^6:a:=10^(-8):

> plot({A(t),Z},t=0..5*10^8);

>

> # 2VP

>

Bei einer Sicherheitskontrolle in einem Kernkraftwerk wird eine radioaktive Verunreinigung entdeckt. Bei einer ersten Messung zeigt die Verunreinigung eine Aktivität von 500 Zerfällen pro Sekunde. Eine Stunde später mißt man 200 Zerfälle pro Sekunde. Auf welche mittlere Lebensdauer der Kerne kann man schließen, wenn man davon ausgeht, daß es sich um eine bestimmte Kernsorte (kein Gemisch) handelt, die zu einem bestimmten Zeitpunkt endstand?

> A0:='A0':a:='a':

> Akt:=t->a*A(t);

Die beiden Messungen erlauben folgenden Schluß

> solve({Akt(t)=500,Akt(t+3600)=200},{a,A0});

>

Also Zerfallskonstante

> -ln(2./5)/3600/s;

>

>

Und mitlere Lebensdauer

> round(1/%/s)*s;

Man vermutet, daß die Verunreinigung 2h vor der ersten Messung entstand. Wieviele aktiven Kerne müssen zu dieser Zeit vorhanden gewesen sein?

> A0=-1800000*exp(-1/3600*ln(2/5)*2*3600)/ln(2./5)*Kerne;

>

> # 3VP

> ## 12VP

>

>

b)

Das Element A (Mutterkern) zerfalle in das Element B (Tochterkern), das seinerseits mit der Zerfallskonstante b zerfällt (mit stabilem Zerfallsprodukt). Stellen Sie (wieder mit Erläuterung) die Differentialgleichungen für diesen Vorgang auf und geben Sie eine allgemeine Lösung für die Anzahl der Kerne als Funktion der Zeit an, wenn zur Zeit 0 vom Mutterkern A0 Kerne und vom Tochterkern 0 Kerne vorhanden sind.

> restart:with(plots):

Die DGL für A bleibt unverändert. B entsteht durch die Aktivität von A und zerfällt mit der Zerfallskonstante b:

> dgln:=diff(A(t),t)=-a*A(t), diff(B(t),t)=a*A(t)-b*B(t);

> sol:=dsolve({dgln,A(0)=A0,B(0)=0},{A(t),B(t)});

> assign(sol);

>

> A:=unapply(A(t),t);

> B:=unapply(B(t),t);

>

> # 3VP

>

Es seien ursprünglich 100 Millionen Mutterkerne vorhanden, die mit der Zerfallswahrscheinlichkeit a = 10/s zerfallen.

Untersuchen Sie folgende Grenzfälle:

- B zerfällt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie A (also b = a).

- B ist stabil.

Stellen Sie in einem gemeinsamen Schaubild als Funktionen der Zeit dar:

- Die Zahl der Mutterkerne A(t) (schwarz, dick)

- Die Zahl der Tochterkerne für b < a und b > a (jeweils ca. 10 Scharkurven, rot, bzw. grün)

- Die Zahl der Tochterkerne für b = a (blau, dick)

- Die Zahl der Tochterkerne für den Grenzfall eines stabilen Tochterkerns (rot).

(Zur besseren Unterscheidung der Kurven empfiehlt es sich, die Kurven verschieden einzufärben.)

> a:=10:A0:=10^8:

> b:='b':;

> B(t);

Für b = a ist der Term für B(t) nicht definiert. Es existiert aber der Grenzwert:

> Ba:=limit(B(t),b=10);

>

> Binf:=limit(B(t),b=0);

oder:

> subs(b=0,B(t));

B ist gleich der Anzahl der zerfallenen Kerne von A.

>

> # 2VP

>

Zeichnung:

> pA:=plot(A(t),t=0..2,color=black,thickness=2):

> p1:=plot({seq(B(t),b=1..9)},t=0..2,color=red):

> p11:=plot({seq(B(t),b=11..20)},t=0..2,color=green):

> pBa:=plot(Ba,t=0..2,color=blue,thickness=2):

>

> display(pA,p1,p11,pBa,plot(Binf,t=0..2));

>

> # 3VP

>

Zeigen Sie, daß für b = a das Maximum der Kurve von B(t) auf der Kurve von A(t) liegt.

> A(t);Ba;

> solve(A(t)=Ba);

> solve(diff(Ba,t));

> subs(t=1/10,diff(Ba,t$2));

>

> # 2VP

> ## 10VP

>

>

c)

Durch Einbringen von radioaktiven Quellen soll ein gewisses Gebiet im Inneren eines Materials bestrahlt werden. Dazu bringt man zwei (punktförmig gedachte) Quellen, die in alle Richtungen gleichmäßig strahlen, an die Punkte Q1( 2 |-2 | 5 ) und Q2( 0 | 1 |-1 ). Die Strahlen der Quelle Q1 haben in dem Material die Reichweite 5, die Strahlen der Quelle Q2 die Reichweite 4 (Längen in cm). Wie groß ist der Rauminhalt des Volumens, das von beiden Quellen bestrahlt wird?

> restart: with(linalg):

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

>

Es muß das Volumen von zwei Kugelabschnitten berechnet werden.

Volumen des Kugelabschnitts (Formelsammlung):

>

> V:=(r,h)->Pi/3*h^2*(3*r-h);

Sei d der Abstand der Zentren, r1 und r2 die Radien der Kugeln, rs der Radius des Schnittkreises der Kugeln und x der Abstand der Ebene, in der der Schnittkreis liegt, von Q1. Dann gilt mit Pythagoras:

> sol:=solve({r1^2-rs^2=x^2,r2^2-rs^2=(d-x)^2},{rs,x});

>

> assign(sol);

> #x;allvalues(rs);

Und für die Kugelabschnitte:

> h1:=r1-x;

> h2:=r2-(d-x);

> V1:=V(r1,h1);V2:=V(r2,h2);

>

Es mus noch der Abstand der Zentren berechnet werden:

> q1:=[2,-2,5]:q2:=[0,1,-1]:

> dotprod(q1-q2,q1-q2);

>

Also

> r1:=5:r2:=4:d:=7:

> V=evalf(V1+V2,4)*cm^3;

>

> # 5VP

>

>

Die Quelle Q2 soll längs der ursprünglichen Verbindungsgeraden (Q1Q2) so verschoben werden, daß der Schnittkreis der von Q1 und Q2 bestrahlten Kugeln seinen größtmöglichen Radius annimmt. Wo muß dazu Q2 plaziert werden?

Der größtmögliche Radius des Schnittkreises ist der Radius der kleineren Kugel. In obiger Konstruktion gibt es dann nur ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse 5 und einer Kathete 4. Also ist die andere Kathete (x = d = 3). Probe:

> d:=3:

> x;

Oder:

> #d:='d':

> #allvalues(rs);

> #rs1:=allvalues(rs)[1];

> #solve(rs1=4);

> #plot(rs1,d=1..9);

> #solve(diff(rs1,d));

>

Q2' über Teilverhältnis von Q1Q2

> `Q2'`=(q1+3/4*q2)/(1+3/4);

>

> # 3VP

> ## 8VP

>