MathCom Isolde-Kurz-Gymnasium Reutlingen 11d
Komma 13. 9. 1999 - 25.7.2000

Materialien auf dem CAS-Server, Kategorie MathCom und auf den Schülerseiten.

 

Die Klasse 11d wird von mir auch in Physik unterrichtet. Die typische Zeiteinheit ist insbesondere im Mathematikunterricht nicht eine Stunde, sondern eine Woche. Die Ergebnisse der Arbeit einer Woche werden (meistens) am Freitag zusammengefaßt. Neue ‘Wochenthemen’ werden (meistens) am Dienstag ausgegeben. Innerhalb einer Stunde können sich Schüler durchaus mit verschiedenen Themen beschäftigen, Übungsstunden werden z.T. aber auch ‘in gleicher Front’ durchgeführt, mit Zusammenfassungen durch Schüler (z.B. Vorstellung und Diskussion von Lösungen über die Videovernetzung).
Wir haben 10 Schulrechner für 21 Schüler, an neun Schüler wurden Laptops für das Arbeiten zu Hause ausgegeben (die manchmal auch mitgebracht werden).
Die angegebenen Worksheets (*.mws) sind in mbuch.mws zu finden. Jeder Schüler hat im Schulnetzwerk ein eigenes Benutzerverzeichnis sowie Zugriff auf alle Unterrichtsmaterialien (auch der Parallelklasse).
Die Mathematikstunden finden ausschließlich im Computerraum statt, so daß in diesen Stunden zwangsläufig auch technische Fragen behandelt werden.
Die Physikstunden werden z.T. auch dazu genutzt, mathematische Fragen (die in Mathematikstunden entstanden sind) an der Tafel zu klären.

Stundenplan

Di: 4 Math, 6 Ph

Mi: 2 Ph, 6 Math

Do: 3 Math

Fr: 3 Ph, 4 Math

 

13.9.99

M: Organisation, Einführung in das Netzwerk (Verzeichnisse mit Materialien), Maple-Oberfläche, gleichförmige Bewegung mit Maple

P: Bücherausgabe, Ausgabe von Laptops (und Einweisung), gleichförmige Bewegung

Die meisten Schüler sind mit Windows und dem Netzwerk vertraut.
Fünf Schüler hatten sich Maple schon in Klasse 10 gekauft und leisten ‘erste Hilfe’ beim Umgang mit Maple.
20.9.99

M: Einstieg in Maple, Grundrechenarten, Plots, Text, Erstellen eigener Worksheets, Übungen zur ZPF und PSF.

P: ZPF, Treffpunkt (zwei lineare Bewegungen), PSF

Als Grundlage dienen die Worksheets einstieg.mws, kontrolle.mws und rechnen.mws. Die Schüler arbeiten damit selbständig, kopieren Teile, und setzen sie zu eigenen Worksheets zusammen, die sie weiter ausarbeiten. Einige Schüler arbeiten schon sehr früh mit Hyperlinks und Kontextmenü. Im Physikunterricht werden die Geradengleichungen an der Tafel eingeführt: x-t-und v-t-Diagramm der gleichförmigen Bewegung.
27.9.99

M: E-Mail einrichten (zwei Stunden), Laptops reparieren (Software), Worksheets zur Einführung.

P: Ungleichförmige Bewegung, x-t- und v-t-Diagramm, stückweise gleichförmige Bewegung.

Wegen technischer Probleme (E-Mail, Netzwerk) war der Unterricht in den Mathematikstunden (im Computerraum) auf zwei Stunden selbständiges Arbeiten reduziert.

Die ungleichförmige Bewegung wurde unter dem Aspekt ‘An der Steigung im x-t-Diagramm kann man die Geschwindigkeit ablesen (mit Einheiten)’ behandelt, wobei auch schon mittlere Geschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit angesprochen wurden. Im Vordergrund steht das Erstellen und lesen von Diagrammen. Parallel zur Mathematisierung (Gleichungen) werden die erforderlichen Maple-Befehle eingeführt (auch an der Tafel in Physikstunden).

 

4.10.

M: Organisation (Dateiabgabe), Erstellen eigener Worksheets zu den bisher behandelten Themen (M und P) in selbständiger Arbeit mit (individueller) Beratung durch den Lehrer, zusammenfassender Test (Geradengleichungen).

Indizierte Variable

P: Schluß von der Geschwindigkeit auf den zurückgelegten Weg (‘Fläche’ im x-t-Diagr.)

Zweidimensionale Bewegung: Ortsvektor, Länge und Richtung von Vektoren.

An dieser Stelle des Unterrichts könnte man auch schon den Approximationsgedanken einführen und von der stückweise gleichförmigen Bewegung durch Grenzübergang zu stetigen (und glatten) Funktionen übergehen, also mit einer propädeutischen Infinitesimalrechnung beginnen (ohne den Funktions- und Grenzwertbegriff zu stark zu strapazieren). Dazu muß aber in jedem Fall auf indizierte Variable (und Folgen) zurückgegriffen werden können.

Um im Rahmen des Projekts nicht zu stark von den derzeit allgemein behandelten Inhalten abzuweichen, habe ich die Entscheidung, ob wir nun direkt zur Infinitesimalrechnung übergehen, oder erst noch Funktionen (auch nicht-lineare) behandeln, aufgeschoben:

In Physik wurde deshalb noch die zweidimensionale Bewegung eingeführt, was auf die Behandlung der Geradengleichung in Parameterform hinausläuft. Natürlich kommen nun die bekannten Schwierigkeiten mit den Variablennamen x, y und t und den zugehörigen Diagrammen (x-t, y-t, x-y). Das ist aber eine gesunde Übung!

11.10.

M: Arbeiten im Netzwerk (Netzwerklaufwerke), Der Befehl add(), Worksheets zu Geraden in mbuch.mws, Registrierung am CAS-Server, Übungsaufgaben

P: Vektoren: Multiplikation mit einem Skalar, Parameterform der Geradengleichung

Z.T. müssen Probleme beim Umgang mit Netzwerklaufwerken geklärt werden (die in Maple manchmal versteckt sind, bzw. einzelnen Schülern doch nicht bekannt waren). Der Befehl add() wurde eingeführt, weil manche Schüler schon mit sum() arbeiteten: Berechnung des zurückgelegten Wegs bei der stückweise gleichf. Bewegung und der mittleren Geschw. Die Vektorrechnung wird in Maple mit Listen gemacht und ohne ‘linalg’, sowie ohne evalm().

Zeichnen von Vektoren als Punkte (in Maple).

Die Parameterform der Geradengleichung wird über die Zeichnung einer Bahn (x(t), y(t)) von Hand eingeführt und geübt, und in Maple als parametrischer Plot realisiert.

 

18.10.

M: Der Befehl subs(), Aufgaben zu Geraden (mbuch.mws), Funktionsschreibweise.

P: Schnitt zweier Geraden (zwei Bewegungen in der Ebene, Gleichungen in Parameterform).

Versuch zum freien Fall, x-t-Diagramm (Meßpunkte, gesucht: Kurve).

 

 

 

Zusammenfassung:

Aufgaben siehe: ueb1.mws

Befehlssammlung siehe: zusfs1.mws

Bisher wurde in Maple bewußt nur die Termschreibweise (Zuweisung) verwendet, wobei großer Wert auf die Unterscheidung der Bindungen (früh / spät) gelegt wurde, bzw. auf die Reihenfolge der Ausführung von Zuweisungen. Mit dem Befehl subs() wird nun nicht mehr eingesetzt sondern ersetzt. Bei der Funktionsschreibweise schließlich, ist auf eine saubere begriffliche Trennung von Funktionsdefinition und Funktionsaufruf (in Maple) zu achten, sowie auf den korrekten Umgang mit Namen. Wenn die Sprachelemente von Maple in dieser Reihenfolge eingeführt werden, erleichtert das auch die Begriffsbildung in der Mathematik (Variable, unabhängig, abhängig, Zuordnung, Funktion, Funktionswert,...). Allerdings muß man etwas Geduld haben, weil die Vielfalt der (sprachlichen) Parallelkonstruktionen doch einiges an Abstraktion erfordert (die Abstraktion aber auch fördert). Dabei ist es in der Regel hilfreich, zwischen ‘einfachen’ und ‘zusammengesetzten’ Variablen zu unterscheiden, um dem Schüler eine Einordnung zu erleichtern. So können z.B. auch indizierte Variable zur Definition (und Auswertung) von Funktionen verwendet werden.
25.10. Nur eine Übungsstunde am Dienstag, FL krank, Klasse sollte selbständig weiter üben, einzelne Schüler geben Worksheets per E-Mail ab.  
Herbstferien  

 

9. 11.

M: Übung zur Geradengleichung in Parameterform, Zusammenfassung der bisher behandelten Maplebefehle, Klassenarbeit 1,1. Fragestunde.

P: Fragestunde, Klassenarbeit 1,1.

In der ersten Woche nach den Herbstferien war nur Zeit für Übungen und Fragen.
16. 11.

M: Kurven in Meßreihen zeichnen. Zwei Stunden fallen aus (pädagogischer Tag). Der Befehl seq(). Linearisierung von Meßreihen mit Maple.

P: Rückgabe und Besprechung der KA 1,1. Der Funktionsbegriff. Linearisierung einer Meßreihe (von Hand).

Anhand der konkreten Daten einer Meßreihe zum freien Fall wird der Umgang mit Daten eingeführt und geübt: Zeichnen von diskreten Punkten mit Maple. Finden einer Kurve, die "gut paßt" (durch Probieren). Naturgesetz und Funktion. Methode der Linearisierung. Aber auch geradliniges Verbinden der Meßpunkte als "lineare Approximation" (stückweise gleichförmige Bewegung) der kontinuierlichen Bewegung.
23. 11.

M: Rückgabe und Besprechung der KA 1,1.

Die Parabel.

Parabelscharen: ax^2, x^2+c, (x-x0)^2.

P: Freier Fall als stückweise gleichförmige Bewegung. v = at. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Die Parabel als wichtige Klasse von Funktionen.

Zunächst formale Behandlung, dann die Bedeutung der Parameter in der Physik.

30. 11.

M: Klassenarbeit Nachtermin (2 Stunden).

Tangentenproblem mit Maple, Sekantenscharen.

P: Tangentenproblem: mittlere Geschwindigkeit -> Momentangeschwindigkeit. Übungen zu x=1/2at^2.

(3.12.: 2 Stunden fallen aus, Vorstellung des Projekts in Karlsruhe).

Ein zentraler Punkt der Infinitesimalrechnung: Der Übergang von Mittelwerten zu Momentanwerten. Unterstützung durch Maple-Grafiken und Animationen, aber auch Komplikationen durch neue Befehle und beginnende Programmierarbeit.
7. 12.

M: Sekantenschar durch Parabelpunkt. Fragen zur Physik. Referate für den CAS-Server.

P: Verzögerte Bewegung. Übungen zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung, Fragestunde. KA 1,2 (P)

Das selbständige Erstellen der Maple-Grafiken und Animationen erfordert viel Zeit.

Für die Physikarbeit muß auch von Hand gerechnet und geübt werden.

14. 12.

M: Differenzenquotient und Differentialquotient. Übungen, Fragestunde, KA 1,2 (M).

P: Rückgabe und Besprechung KA 1,2 (P). Differentialquotient.

Differenzenquotient und Differentialquotient als mathematische Konstruktion zu Mittelwerten und Momentanwerten. Geometrische Bedeutung. Grenzwert nur propädeutisch.
21. 12.

M + P: x=1/2a*t^2 + v0*t + x0, v=a*t + v0.

Übungen für die Physikarbeit nach den Ferien.

 

Weihnachtsferien  
10.1.

M: Worksheets zum Tangentenproblem, Besprechung der Klassenarbeit.

P: Übungen zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung, Fragestunde, Klassenarbeit.

Das Tangentenproblem wird mit einer Animation veranschaulicht (siehe mbuch.mws). Die Sekante wird zur Tangente und die Werte des Differenzenquotienten werden als Punktefolge gezeichnet. Zeitgleich wird in Physik die mittlere Geschwindigkeit und die Momentangeschwindigkeit behandelt.
17.1.

M: Betreuung von Referaten, Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln.

P: Besprechung der Klassenarbeit, schiefer Wurf, Oberstufenberatung.

In diesem Unterrichtsgang wird das Tangentenproblem nicht zu sehr vertieft (Folge und Grenzwert), vielmehr steht der Zusammenhang von Funktion und ihrer Ableitung im Vordergrund. Deshalb auch die Ableitung von Funktionen mit dem D-Operator.
24.1.

M: Betreuung von Referaten, graphisches Differenzieren, Noten, Fragebogen, Anzahl der Extrema einer kubischen Parabel, Wendepunkt.

P: Schiefer Wurf (eine Stunde fällt aus), Besprechung der Umfrage.

Die Betreuung von Referaten ist zeitraubend (höchstens 3 Schüler pro Stunde sinnvoll). Das graphische Differenzieren wird ohne Computer gemacht (zeichnen der Ableitungsfunktion), aber mit dem Computer kontrolliert.
31.1.

M: Übungsaufgaben zur Ableitung aus dem Buch, zwei Stunden fallen aus (pädagogischer Tag), erste Kurvendiskussion.

P: Wurfweite, graphisches Differenzieren (x-, v-, a-Diagramme)

Die Kurvendiskussion ist durch das CAS nicht überflüssig geworden, sondern nach wie vor ein gutes Training beim Erlernen der Differentialrechnung.
7.2.

M: Polynome 4. Grades, Kurvendiskussion, notwendige Bedingung für Extrema.

P: Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung, gleiche Funktionstypen für die Ortsfunktion wie in den Mathematikstunden.

Nach der bis hierhin mehr heuristisch durchgeführten Kurvendiskussion muß nun die Logik etwas präzisiert werden.
14.2.

M: Hinreichende Bedingung für Extrema: Vorzeichenwechsel der Ableitung. Verhalten von Polynomen für große x.

P: Eine Stunde fällt aus, schiefer Wurf mit Geschwindigkeitsvektoren (Tangenten an die Wurfparabel).

Mit Maple läßt sich der Vorzeichenwechsel der Ableitung gut demonstrieren, indem man den rechts- und linksseitigen Grenzwert des Vorzeichens der Funktion nimmt und signum(f'(x)) zeichnet. Für den Einstieg ist das wesentlich anschaulicher als die zweite Ableitung.
21.2.

M: Verhalten von Polynomen für große x. Beweis der Ableitungsregeln für Polynome (ohne und mit Maple, Schülerreferat). Verhalten für kleine x. Kurvendiskussion - Schema.

P: Geschwindigkeitsvektoren (Animation mit Maple). Schiefer Wurf: Wurfwinkel (Steil- und Flachschuß).

Das Verhalten für große x wird auch benötigt, um (bedingt) auf die Anzahl der Nullstellen schließen zu können (ohne Maple). Mit Maple lassen sich schöne Animationen machen, die eine Kurve 'verbiegen'. Das Verhalten für kleine x kann dann überlagert werden. Teilweise Automatisierung einer Kurvendiskussion.
28.2.

M: Worksheets mit Kurvendiskussionen (-> CAS-Server), Aufgaben aus dem Buch (vollstäniges Schema der Kurvendiskussion), Kurvenscharen.

P: Zusammenfassung zum Wurf, Fragestunde, Klassenarbeit.

Die Schüler bauen ihre Worksheets zur Kurvendiskusion aus: Verhalten für große und kleine x, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte. Kurvenscharen: Wie verändert sich das Aussehen der Kurve?
Winterferien  
13.3.

M: Zweite Ableitung als hinreichendes Kriterium für Extrema, Übungen, Fragestunde, Klassenarbeit (mit Computer).

P: Besprechung der Klassenarbeit, Definition der Kraft (dynamisch), Fragestunde zur Mathematik.

Klassenarbeit: vollständige Kurvendiskussion. Ohne detaillierte Fragestellung sollen die Schüler zeigen, mit welchen Mitteln sie einen Funktionsterm untersuchen. Tangente an die Kurve in einem gegebenen Punkt. Erweiterung der Fragestellung: Kurvenschar.
Berlinfahrt  
28.3.

M: Upload von Worksheets

P: Newtons Axiome

(2 Stunden fallen aus) Der Upload von Schülerreferaten auf den CAS-Server beinhaltet auch die Erstellung geeigneter Kurzbeschreibungen.
3.4.

M: Rückgabe KA 2,1. Monotonie, Symmetrie von Funktionen

P: Newtons Axiome, Atwoodsche Fallmaschine

Gerade und ungerade Funktionen, Symmetrie zu einem beliebigen Punkt bzw. einer beliebigen vertikalen Achse.
10. 4.

M: Symmetrie von Funktionen, Nachtermin KA 2,1

P: Reibungskraft, Schiefe Ebene

(1 Stunde f.a.) Übungen zur Symmetrie, Ableitung als weiteres Kriterium, Maple-Befehlssatz zur Automatisierung der Symmetriebestimmung
17.4.

M: Symmetrie und Koeffizientenvergleich

P: W=Fs, schiefe Ebene

Wie läßt sich an den Koeffizienten eines Polynoms feststellen, ob es Symmetrieeigenschaften besitzt?
Osterferien 20.4. - 1.5.  
1.5.

M: Die Maplebefehle diff, add und unapply

P: Lage- und Bewegungsenergie, Energieerhaltungssatz

Bis hier wurde fast ausschließlich mit Funktionen gearbeitet. Zur Ableitung von Termen wird diff benötigt und zur Bildung von Funktionen unapply. Polynome werden zweckmäßig mit add erzeugt. (2 Stunden f.a.)
8.5.

M: Bestimmung von Funktionen

P: Übungen zum EES

(2 Stunden f.a.) Gerade zu 2 Punkten (Wdh.) Parabel zu drei Punkten, LGS mit Maple
15.5.

M: Bestimmung von Polynomen

P: Spannenergie, Übungen zum EES

Zwei Arten der Fragestellung: a) Bedingungen gegeben, b) Kurve gegeben

(2 Stunden f.a.)

22.5.

M: Funktionsbestimmung mit Smartplot

P: Übungen zum EES, Fragestunde, KA 2,2

'Kurven- und Termpuzzel' zur Übung, Suchen geeigneter Bedingungen bzw. besonderer Punkte
Pfingstferien  
14.6. (Mi)

M: Kurvenscharen, Ortskurven von Extrema

P: Energiebilanz, W=int(F,x)

Die Bestimmung von Funktionen mit einem Parameter führt zu Kurvenscharen. Die Ortskurven der Extrema können schon bei der Wahl des Parameters vorgegeben werden.

In Physik wird aus W=Fs das Integral propädeutisch eingeführt (Riemann).

19.6.

M: Ortskurven, Übungen und Fragestunde (Do Feiertag), KA 2,2

P: Rückgabe KA2,2 Fragestunde zur Mathe-KA

Betreuung von Referaten
26.6.

M: Isoklinen und Isoklinenscharen

P: Stammfunktion und bestimmtes Integral

(2 Stunden f.a.) Isoklinen als Verallgemeinerung der Ortskurven von Extrema.

Integrieren als Umkehroperation zum Ableiten. Bestimmtes Integral als Differenz der Energie in zwei Zuständen.

3.7.

M: Rückgabe KA 2,2, Ausgabe der Cassiopeia-Rechner, Betreuung von Referaten

P: Mittelwert durch Integration (mittlere Kraft), Fragestunde, KA 2,3

Mittelwert und flächengleiches Rechteck
10.7.

M: Einführung Cassiopeia, Noten (1 Stunde f.a.), Referate

P: Rückgabe KA 2,3, Nachtermin, Einf. Cassiopeia

Die Betreuung von Referaten und ihre Vorstellung durch Schüler nimmt viel Zeit in Anspruch!
17.7.

M: Extremwertaufgaben

P: Kreisbewegung mit x=cos(wt), y=sin(wt)

Extremwertaufgaben lt. Buch

Kreis in Parameterdarstellung

24.7.

kein regulärer Unterricht, Zeugnisausgabe, Sommerferien

 

 

Zusammenfassung:

Unterrichtssituation: Es besteht ein erheblicher Unterschied zwischen dem Unterricht im Computerraum (zwei Schüler pro Arbeitsstation) und dem Unterricht mit Laptops (ein transportables Gerät pro Schüler). Die Arbeit mit Laptops war wesentlich effektiver, da jeder Schüler ‘immer und überall’ seine persönlichen Materialien und Notizen komplett zur Verfügung hatte und bei der Bearbeitung von Aufgaben auch mehr auf eigene Leistung angewiesen war. Beim Unterricht im Computerraum entsteht oft die Situation, daß die aktiveren Schüler die Initiative ergreifen, und die andere Hälfte sich mehr und mehr mit der Rolle des Zuschauers begnügt. Deshalb mußte die Aufgabenverteilung in den Teams z.T. vom Lehrer vorgegeben werden, damit auch ‘die Zuschauer’ wirklich interaktiv arbeiteten und sich so eventueller Schwächen bewußt wurden.

Mathematik mit CAS: Der Umgang mit dem System scheint nun bei allen Schülern relativ zuverlässig zu funktionieren (Oberfläche, Syntax, Reaktion auf Fehlermeldungen). Damit dies erreicht werden konnte, wurde der bisher behandelte Befehlssatz auf ein Minimum reduziert, dafür aber unter häufig wechselnden Bedingungen eingesetzt (dazu genügt ja oft schon die Änderung von Variablennamen, siehe x-t-, y-t-, y-x-Diagramme). Der Begriff der Funktion wurde noch nicht ausdrücklich behandelt (wiederholt), vielmehr arbeiten wir mit dem Vorwissen (Restwissen) aus dem vorangehenden Unterricht, und das eigentlich nur in Bezug auf lineare ‘Funktionen’. Wir untersuchen derzeit nur ‘gleichförmige Bewegungen’, das aber mit vielen Aspektverschiebungen: Orts-Zeit-Funktion, Geschwindigkeits-Zeit-Funktion, Formen der Geradengleichung, Anfangsbedingungen, Bahn einer zweidimensionalen Bewegung, Parametrisierung, u.a.m.

Die stückweise gleichförmige Bewegung dient als grobes Modell für eine beliebige ungleichförmige Bewegung - mit dem Argument des Physikers, daß immer nur Mittelwerte gemessen werden können. Eine Verfeinerung des Modells (Grenzübergang) wäre durchaus schon in naher Zukunft machbar (nach einer kurzen Behandlung von Folgen oder zumindest nach der Einführung des Befehls seq()), wird aber wahrscheinlich zurückgestellt und erfolgt erst, wenn auch nicht-lineare Funktionen behandelt wurden. Der natürlich Einstieg in nicht-lineare Funktionen wird wieder über die Physik erfolgen: Meßreihen zum freien Fall (und zu Fahrbahnversuchen) legen die Frage nahe, welche Kurve am besten zu den Meßpunkten paßt. Hier ist auch ein kurzer Ausflug in die Statistik geplant, vom Lehrer vorgegebene Befehle aus dem Maple-Statistik-Paket können durchaus als Black-Box verwendet werden. Wesentlich bei diesem Vorgehen ist aber die Problematisierung von ‘Meßreihe <-> Naturgesetz’, ‘Messung <-> Vorhersage’ sowie die Bewertung der gefundenen Gesetze. Die Gesetzmäßigkeit führt schließlich zu einem ‘anwendungsorientierten Funktionsbegriff’ (für alle t gilt:...). In den Mathematikstunden wird dieser Funktionsbegriff dann abgelöst von den Messungen und als solcher untersucht: Funktionstypen und Formvariable. Natürlich hat bei der Arbeit mit einem CAS die Visualisierung einen hohen Stellenwert.

Parallel dazu wird der Funktionsbegriff über die Programmiersprache Maple eingeführt. Damit ist nicht nur die Funktionsschreibweise (f := x-> ...) gemeint, sondern vielmehr (fast) alle Möglichkeiten, die dieses System bietet: Einfache Variable (+ Zuweisung), Substitution, Pfeilschreibweise, indizierte Variable (und später auch die Prozedur und weitere Konstruktionen). Da dieses Vorgehen relativ umfangreiche informatorische Kenntnisse und Fähigkeiten voraussetzt, scheiden sich an dieser Stelle die Geister (auch nach den Erfahrungen aus der ersten Pimokl-Runde). Man solle nicht ‘Befehle auf Vorrat bunkern’, sagen diejenigen, die nach wie vor zwischen ‘echter Mathematik’ und Informatik unterscheiden und ein CAS nur als ‘Rechenknecht’ im Mathematikunterricht dulden. Man müsse den Schüler erst vollkommen mit dem System vertraut machen und ihm das Programmieren von Prozeduren beibringen (oder zumindest das fehlerfreie Abarbeiten von vorgegebenen Prozeduren), bevor man ihn mit dem CAS auf die Mathematik losläßt, sagen diejenigen, die das System schon komplett beherrschen. Und wieder einmal liegt die Wahrheit wohl in der Mitte: Mathematik mit CAS erfordert die Synthese von (Programmier-) Sprache und Begriffsbildung. Es handelt sich dabei um eine ganz natürliche und uralte Vorgehensweise, nämlich um das Fortschreiten vom Einzelfall zum Allgemeinen (und wieder zurück), über das man sich mit Hilfe einer Sprache verständigt (auch im Selbstgespräch, also beim Nachdenken). Nur tritt nun neben die Alltagssprache und die Formelsprache der Mathematik noch die Programmiersprache (und sei es nur in Kontextmenüs oder auf Icons reduziert - objektorientiert). Die Programmiersprache erfordert zunächst einen zusätzlichen Lernaufwand, ist einfach eine neue zusätzliche Sprache. Aber schon beim Erlernen dieser Sprache wird die mathematische Abstraktion angebahnt (so wie man früher noch im Lateinunterricht das Verständnis für die deutsche Grammatik als Bonus bekam: Strukturen werden oft erst dann sichtbar, wenn man genügend Distanz zu ihnen hat). Beherrscht man aber einmal die Sprache des Systems, so kann man das System interaktiv in der Mathematik einsetzen. Und das ist neu, das macht den Fortschritt aus, denn man vermeidet so Rechenfehler und kann Probleme lösen, die ‘von Hand’ nicht lösbar sind: Das Werkzeug CAS ist weder ein Hammer noch ein Schraubenzieher, sondern ein Gesprächspartner, dem man Fragen stellen kann und dem man Aufträge erteilen kann.