Verschränkung | Entanglement

Eine kurze Notiz

Das "eigentliche Geheimnis der Quantenphysik" ist nicht die Superposition von Zuständen, sondern die Verschränkung. Die Superposition kann man in einem Raum mit der Basis {|h>,|v>} (z.B. horizontale oder vertikale Polarisation eines Photons) beschreiben. Für die Verschränkung benötigt man den Produktraum mit {|h>,|v>}⊗{|h>,|v>}. Falls man das Glück hat, zwei Photonen in einem reinen Zustand anzutreffen, lassen sie sich so beschreiben:

(1)

Dabei ist z.B. |hv> die Kurzschreibweise für das nicht kommutative Tensorprodukt |h>⊗|v>. In der WWW-Standardliteratur liest man nun: "Ein Zustand ist verschränkt, wenn er sich nicht faktorisieren (separieren) lässt". Aber was passiert, wenn sich der Zustand zahlenmäßig nicht exakt faktorisieren lässt, bzw. was ist das Kriterium für Faktorisierbarkeit? Der Zustand (1) lässt sich faktorisieren (ist ein Produktzustand), wenn für die (komplexen) Koeffizienten gilt:

(2)

bzw.

(3)

Wenn Gleichung (2) (oder (3)) nicht exakt erfüllt ist, ist der Zustand "ein bisschen verschränkt".  Wann ist umgekehrt Gleichung (2) maximal verletzt, bzw. gibt es ein Maß für die Verschränkung? Aus der zum Zustand (1) gehörenden Dichtematrix 

(4)

bildet man die reduzierte Dichtematrix 

(5)

und nimmt (z.B.) als Maß für die Verschränkung die Shannon-Entropie 

(6)

mit den Eigenwerten λ der reduzierten Dichtematrix  (ld dualer Logarithmus).

Für den Bell-Zustand c11|hh> + c22|vv> kann man E über den Koeffizienten c11 und c22 (zunächst reellwertig) abtragen: Auf den Winkelhalbierenden ist der Zustand maximal verschränkt (E = 1, rot), auf den Achsen hat man die (einfachsten) Produktzustände (E = 0, violett). Wie bei der Sichtbarkeit von Interferenz gibt es aber auch hier alle Werte zwischen 0 und 1, d.h., "etwas verschränkt" ist der Normalfall. Mit Maple kann man nun bequem mit Schiebern die anderen Koeffizienten in Gleichung (1) einstellen (p11 und p12 sind die Phasen von c11 und c12). Zur Darstellung von E werden die Koeffizienten c normiert, die Zahlen sind also als relatives Maß (oder Gewicht) zu lesen.

Hier sind zwei weitere Beispiele: 

Es gibt also wie gesagt nicht nur verschränkte oder nicht verschränkte Zustände, sondern alles dazwischen - von statistischen Gemischen ganz abgesehen... 

Zur Veranschaulichung von

hier noch ein paar Animationen:

1. Ausgehend von einem verschränkten Zustand wie oben (c11|hh> + c22|vv>), kann man weitere Summanden zumischen, z.B. c21=1 und Animation für c12 (reell):

Die Produktzustände (E=0) liegen dann auf Hyperbelscharen (violett). Maximale Verschränkung (E=1, rot) wie gehabt auf den Winkelhalbierenden, aber nicht mehr durchgehend. 

Aber die Phase spielt auch eine Rolle: c12 = c21 = 1, Animation für p11 

2. Ausgehend von einem Produktzustand, z.B. c11|hh> + c12|hv>, und Zumischen der anderen Summanden: c22 = 0.5, Animation für c21 

Nun liegen die Produktzustände auf Geradenscharen, die von zwei maximal verschränkten Zuständen begleitet werden.

Animation für p11 (p12 = 0, c22 = 1.5, c21 = 2):