Mathematisches Pendel

Das mathematische Pendel

Oder das Märchen von "exakten Lösungen"

Manchmal werden "exakte Lösungen" für das "mathematische Pendel" angeboten. Dies erweckt den falschen Eindruck, dass man nicht auf numerische Verfahren angewiesen ist, um die Schwingungsdauer eines Pendels im Schwerefeld oder gar den gesamten Ablauf der Bewegung für beliebige Auslenkungen zu berechnen.

Wie kommt es zu diesem Märchen?

Die Bewegung des Pendels lässt sich mit elliptischen Integralen "exakt" beschreiben. Leider lässt sich aber der Umfang einer Ellipse nicht exakt berechnen (noch weniger exakt als der Kreisumfang, für den man wenigstens eine einfache Formel hat... :-).

Wir untersuchen das einmal mit einem kleinen Maple-Worksheet.

Für die Schwingungsdauer T gilt:

>	*T:=4/omega[0]EllipticK(sin(phi[0]/2));**

`+`(`/`(`*`(4, `*`(EllipticK(sin(`+`(`*`(`/`(1, 2), `*`(phi[0]))))))), `*`(omega[0])))

(1)

Dabei ist ω₀ die Kreisfrequenz für kleine Auslenkungen und Φ₀ der Ausschlag des Pendels.
EllipticK ist das vollständige elliptische Integral 1. Art, siehe z.B.
http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=EllipticF

Der erste Vorteil dieser "exakten Beschreibung" ist, dass man sich z.B. die Schwingungsdauer als Funktion der Auslenkung zeichnen lassen kann (als Vielfaches der Schwingungsdauer für kleine Auslenkungen).

>	*plot(omega[0]T/(2Pi),phi[0]=0..0.999Pi,labels=[phi[0],'fT']);*

Aber natürlich geht das nur mit einer numerischen Näherung, siehe z.B.
www.nag.co.uk/numeric/fl/manual/pdf/S/s21bbf.pdf

Jedenfalls sieht man nun, dass die Schwingungsdauer des Pendels beliebig groß werden kann.

Der zweite Vorteil ist, dass es eine Reihenentwicklung für ElliptcK gibt:

>	'T'=series(T,phi[0],10);

(2)

Man kann die Symbolik aber noch weiter treiben:

Für den Winkel als Funktion der Zeit erhält man

>	*phi=2arcsin(sin(phi[0]/2)JacobiSN(omega[0]t+omega[0]T/4, sin(phi[0]/2)));*

(3)

Zu JacobiSN siehe z.B.
http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=JacobiAM

Die elliptischen Integrale sind sogar so benutzerfreundlich, dass man sie ableiten kann, also

Winkelgeschwindigkeit:

>	omega=diff(rhs(%),t);

(4)

Winkelbeschleunigung:

>	aphi=diff(rhs(%),t);

(5)

Damit erhält man die gleichen Kurven wie mit der numerischen Lösung der Bewegungsgleichung (die Numerik wurde nur in die numerische Integration der elliptischen Integrale verschoben, was leider auch mit guten NAG-Algorithmen um einiges länger dauert).

Aber diese "exakten Lösungen" sind wirklich praktisch! Man kann sich z.B. mit wenig Aufwand ansehen, wie die Schwingung für verschiedene Auslenkungen aussieht:

Für jede Auslenkung (abzulesen an der Hochachse in Radiant) ist eine Cosinuskurve mit gleicher Schwingungsdauer (und Farbe) eingetragen. Erst bei der dunkelblauen Kurve ist eine minimale Abweichung zu sehen. Also schwingt das "mathematische Pendel" doch auch für große Ausschläge "exakt harmonisch"?

Nun ja - wir wissen, dass Synthesizer Sinuskurven aus Parabelbögen zusammensetzen und dieser Trick auffliegt, wenn man gute Ohren hat oder sich mit einem Oszilloskop die Ableitung(en) ansieht. Hier z.B. die Winkelgeschwindigkeit:

Spätestens bei der Winkelbeschleunigung wird es wirklich unharmonisch:

Und die Moral von der Geschicht? Traue "exakten Lösungen" und "Sinuskurven" nicht!

© M. Komma 01/2011
Für die html-Ausgabe von Maple bin ich nicht verantwortlich...

Methode: Für das mathematische Pendel liefert der Energieerhaltungssatz (in Polarkoordinaten) eine Differentialgleichung 1. Ordnung für den Winkel als Funktion der Zeit. Die Lösung dieser DG kann mit elliptischen Integralen dargestellt werden. Zur numerischen Lösung der Bewegungsgleichung (DG 2. Ordnung) siehe auch "Newtons Maschine".

Siehe auch:
Kreispendel
Kugelpendel
Zykloidenpendel
Das Märchen vom harmonischen Oszillator im Schwerefeld
Harmonischer Oszillator, quantenmechanisch
Paulfalle, Standard
Paulfalle, Mechanisches Analogon | Paulfalle, Mechanisches Analogon, Details

Moderne Physik mit Maple