Gequetschte und gedrehte Zustände im Phasenraum

Sqeezed and rotated states in phase space

In Anlehnung an
 
Measurement of the quantum states of squeezed light
G. Breitenbach, S. Schiller & J. Mlynek
NATURE  VOL 387 129 MAY 1997

In der klassischen Physik lässt sich der Zustand eines Systems immer eindeutig angeben (prinzipiell jedenfalls), also graphisch oder geometrisch immer durch einen Punkt darstellen - egal in welchem Raum.
In der Quantenmechanik muss diese "exakte Beschreibung" durch "unscharfe Zustände" ersetzt werden, weil das Produkt der Unschärfen kanonisch konjugierter Variablen (z.B. Ort und Impuls) nicht Null werden kann. Aus Kurven im Phasenraum werden also Verteilungen im Phasenraum: Kleines 1 x 1 quantenmechanischer Zustände im Phasenraum.

Dieser Artikel zeigt Beispiele aus der Quantenoptik.

Eine beliebte Fragestellung lautet: Was wird aus der elektrischen Feldstärke einer klassischen elektromagnetischen Welle in der "quantenmechanischen Beschreibung"?

Wenn man einen "klassischen Zustand" (E-Feld) möglichst gut quantenmechanisch beschreiben will, geht das am besten mit Gaußverteilungen (genauer gesagt Wigner-Verteilungen). Dieser Ansatz führt zunächst auf "kohärente Zustände".

Kohärente Zustände (coherent states):

In kohärenten Zuständen des Lichts, wenn also die "Photonenstatistik" durch eine Poissonverteilung beschrieben wird, ist die Wignerfunktion W eine symmetrische Gaußverteilung und die Randverteilungen P_Rand sind Gaußpakete, die ihre Form beibehalten wie in der Animationen unten (Hochachse: W oder P_Rand). Trägt man eine der Randverteilungen (z.B. Y) über dem Phasenwinkel (der zeitlichen Entwicklung) ab, so entsteht in der Draufsicht (links) ein sinusförmiges Band, d.h., man erhält weder für die Amplitude (Y) noch für die Phase Φ der elektrischen Feldstärke scharfe Werte, sondern neben dem zentralen Maximum (rot) weitere Werte mit abnehmender Wahrscheinlichkeit. Die 3D-Darstellung (rechts) ist eine weitere Möglichkeit der Veranschaulichung.

Anmerkung: Die Randverteilungen sind nicht der Schattenwurf (die Projektion) der Wignerverteilung auf eine Koordinatenebene, sondern das Integral über die Wignerverteilung (parallel zu einer Koordinate). Der Maßstab ist so gewählt, dass alle Verteilungen etwa gleich hoch sind. Wichtiger: Selbst bei kohärentem Licht (Laser) lässt sich die elektrische Feldstärke nicht wie bei einer klassischen elektromagnetischen Welle bestimmen. Bei Experimenten, die den Charakter des Lichts untersuchen, geht man so vor, dass man das Rauschen misst, also Photonen zählt. Damit erhält man ein Muster von Punkten, die wie in der linken Abbildung mehr oder weniger dicht liegen. Aus diesem Muster schließt man dann über die Randverteilungen auf die zugehörige Wignerverteilung. Leider geht das nicht in Echtzeit, sondern nur mit ausgeklügelten Methoden (-> Homodyne Detektor), die das Lichtfeld (Frequenz einige 100THz) mit etwa 10Hz "scannen" und so das Bild eines "quantenmechanischen Oszillators in Zeitlupe" liefern. Die gezeigten Abbildungen sollten also nicht so (naiv) interpretiert werden, dass hier "die elektrische Feldstärke von Licht" zu sehen ist. Außer kohärentem Licht kann man auch andere Sorten von Licht herstellen. Phase gequetscht (phase-squeezed):

Diese Lichtsorte könnte man so charakterisieren: Die Phase (Phasenverschiebung) der Schwingung ist relativ gut bekannt, dafür ist aber die Amplitude relativ unbekannt. (Grobes Modell: man zeichnet sinusförmige Kurven mit gleicher Phasenverschiebung (und Frequenz) aber unterschiedlicher Amplitude.)

Das Gegenstück (die andere Quadraturkomponente) gibt es auch.

Amplitude gequetscht (amplitude-squeezed):

Diese Lichtsorte könnte man so charakterisieren: Die Amplitude der Schwingung ist relativ gut bekannt, dafür ist aber die Phase relativ unbekannt. (Grobes Modell: man zeichnet sinusförmige Kurven mit gleicher Amplitude (und Frequenz) aber unterschiedlicher Phasenverschiebung.) Natürlich gibt es auch etwas dazwischen, z.B.: 45° gedreht (und gequetscht):
Zur Übung: Wie lässt sich diese Lichtsorte charakterisieren und skizzieren? Aber es kommt noch besser: Man braucht für diese Experimente gar kein Licht! Gequetschtes Vakuum: