Mathematische Behandlung der Schrödingergleichung

 

Dr. M. Komma

 

Beitrag zur Quantenphysik-Fortbildung Oberschulamt Tübingen

 

Kurzfassung, Frühjahr 2003

 

Quick Links

 

Mit Ableitungen der Wellenfunktion und der Hamiltonschen Mechanik findet man die Schrödingergleichung    (Worksheet).

 

Eigenfunktionen und Eigenwerte für verschiedene Potentiale

 

-          analytische Lösungen

-          numerische Lösungen mit Animationen

-          Allround-Prozedur für „beliebige Potentiale“

 

 

Harmonischer Oszillator

 

-          Theorie: Gauß-Paket in die SGL einsetzen,  Operatoren, Reihenentwicklung

-          Harmonischer Oszillator vertieft:  Überlagerung stationärer Zustände mit beliebigen Verteilungen (Gewichten), u.a. kohärent (Schrödinger) , squeezed states (Quantenoptik) – stark gekürzte Fassung.

 

Feynmans Herleitung der Schrödingergleichung

Feynmans Bewegungsgleichung: Propagatoren für Oszillator, Gaußspalt und freies Teilchen (stark gekürzt).

 

 

Wer nicht alles selbst programmieren will, kann fertige Maplets verwenden (ab Maple 8). 

Hier ist ein Beispiel, wie man mit der neuen graphischen Oberfläche mit Schiebereglern Maple steuern kann:

Maplet(vorläufige Fassung zum Zeichnen der Wellenfunktion im quadratischen und linearen Potential, Darstellung von H-Orbitals)

 

 

 

 

 

„Ich denke, ich kann davon ausgehen, dass niemand die Quantenmechanik versteht.“

 

 

„Woher haben wir diese Gleichung? Von nirgendwo. Es ist unmöglich,  sie aus irgend etwas Bekanntem herzuleiten. Sie ist Schrödingers Kopf entsprungen.“

 

Als einer der „Meister der QED“ konnte es R.P. Feynman sich erlauben, solche (sokratischen) Sentenzen von sich zu geben. Er hat sicher die Quantenmechanik besser verstanden als so mancher andere und wusste besser als so mancher andere, was er mit seinem „Ich weiß, dass ich nichts weiß für Quantenmechaniker“ sagen wollte.

 

Er hat auch die Schrödingergleichung hergeleitet (z.B. in Feynman-Hibbs, Quantum Mechanics and Integrals, S. 76, McGraw-Hill 1965) - aus Pfadintegralen, die seinem Kopf entsprungen sind.

 

Man sollte also Feynman nicht nur zitieren, sondern auch verstehen.

 

 

 

 

Gliederung:

 

 

 

 

 

QM ohne Schrödingergleichung

 

Zunächst sollte man diese Frage beantworten:

 

Was ist dieses ?

 

Unter anderem die Lösung einer Bewegungsgleichung. Aber man benötigt die Bewegungsgleichung nicht unbedingt, denn die Form der Lösung ist bekannt (und das wusste im (Wirkungs-) Prinzip schon Hamilton 1805-65):

 

 

Die Wirkungsfunktion spielt die Rolle einer Phase, z.B. einer monochromatischen Welle

 

Welle = Teilchen

(oder umgekehrt?)

 

Allgemeiner gilt:

  ;  ,   

 

Mit der Energie-Impulsbeziehung für massive Teilchen

 

 

è    Seitenthemen: Energie-Impulsbeziehung beim Photon, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit, Dispersion, Pakete!, Unschärfe (Fourier).

 

 

Der ortsabhängige Teil der Wirkungsfunktion (das Eikonal) ist das Impulspotential, bzw. der Impuls (das Impulsfeld) ist der Gradient der Wirkungsfunktion (vgl. Wellenfronten und Strahlen oder Äquipotentialflächen und Feldlinien).

Bewegungsgleichung für die Wirkung S(x,t):

 

 

 

 

 


                                                                                                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Damit ist das  für jede Situation (jedes Potential) im Prinzip bekannt – bis auf den Vorfaktor, die „Amplitude“ . Wir können sogar beliebig viele s überlagern – ohne irgendeine Bewegungsgleichung!

è    Seitenthemen: Pfadintegrale, Vielstrahlinterferenz

 

Mit der vereinfachenden Annahme (Modellbildung?), dass sich A „nicht wesentlich ändert“ (geometrische Optik / quasi klassisch), können wir leicht eine ganze Reihe wichtiger Fragestellungen von der klassischen Mechanik in die Quantenmechanik übertragen (vgl. Moderne Physik mit Maple):

 

·         Doppelspalt (mit Teilchen oder Wellen?)

·         Wurf mit Tunneleffekt und Interferenz

·         Harmonischer Oszillator

·         Coulombwellen (für stationäre Ellipsen und Hyperbeln)

·         Rydbergatome

·         Streutheorie und Übergangswahrscheinlichkeiten, Störungsrechnung, ...

 

Und genau so macht man es in den modernen Experimenten mit Fullerenen und Kondensaten (und auch in Feynmans QED)!

 

 

Auf dem Weg zur Schrödingergleichung:

 

-          Wellengleichung und Transportgleichung (Periodizität ist nicht gefragt, sondern nur  mit )

-          Typen von Transportgleichungen (Diffusionsgleichung reell und komplex)

-          Wellenpakete (zentrales Bindeglied) <-> Deltafunktion (klassische Physik)

-          Übergang zur Wellenoptik  (oder Wellenmechanik?)

-          Statistische (klassische) Physik und Quantenphysik

 

 

 


Hin- und Herleitungen:

 

 

Induktiv

 

Was passiert, wenn man y schlicht ableitet?

-          Quasiklassisch (Strahlenoptik)

-          Stationär (was bewegt sich?)

-          Operatoren

-          Hamilton-Jacobi und Kontinuität

-          Quantenpotential?

 

Mit Ableitungen der Wellenfunktion und der Hamiltonschen Mechanik findet man die Schrödingergleichung    (Worksheet).

 

Eine Anmerkung zu stationären Zuständen und ihrer Interpretation...

 

 

Deduktiv

 

-          Heisenberg <=> Schrödinger (in den Originalen)

-          Operatoren

-          Lagrange-Formalismus

-          Pfadintegrale: Feynman-Hibbs, Quantum Mechanics and Integrals, S. 76, McGraw-Hill 1965 (ein ganzes Kapitel; ebenso Lectures III).

-          QED

-          neueste Version: Schrödinger equation from an exact uncertainty principle, Michael J. W. Hall and Marcel Reginatto arXiv:quant-ph/0102069 v3 9 Apr 2002

-          U.a.m.

 

 

Historisch

 

Die Schrödingerseite

 

Es gibt eine Fülle von Artikeln zu diesem Thema. Hier ist ein besonders schöner:

Schrödingers Entdeckung der Wellenmechanik, Norbert Straumann, arXiv:quant-ph/0110097 v1 16 Oct 2001

(Ein schönes Thema für ein Referat nach dem Abitur...)

 

Feynman soll gesagt haben:

 

„Woher haben wir diese Gleichung? Von nirgendwo. Es ist unmöglich,  sie aus irgend etwas Bekanntem herzuleiten. Sie ist Schrödingers Kopf entsprungen.“

Wo sollten Gleichungen sonst entspringen, wenn nicht in Köpfen?

 

Was Schrödinger und alle Physiker seiner Zeit in ihren Köpfen hatten, war die Hamiltonsche Mechanik und eine profunde Kenntnis der Variationsprinzipien. Natürlich konnten sie damit die Quantenmechanik nicht herleiten, aber nur so (und mit der Unterstützung durch die jeweils neuesten Experimente) konnten sie die Quantenmechanik entdecken. Das sollte man im Hinterkopf behalten, wenn man Schrödinger liest – und man sollte ihn lesen!

 

Schrödingers Mitteilungen zur Quantisierung als Eigenwertproblem:

 

1.      Statt Wirkung Logarithmus der Wirkung. Variationsprinzip ( erste Mitteilung), moderner: Euler-Lagrange-Gleichungen für die Lagrange-Dichte L:
 

2.      Stationär (zweite Mitteilung)

3.       komplex, Reduktion der Ordnung der DGl (vierte Mitteilung, Störungstheorie war das ursprüngliche Ziel).

 

In allen Mitteilungen Schrödingers wird vorgerechnet, was danach 100000-fach in Lehrbücher zur QM übernommen wurde (je später desto weniger mit Angabe des Autors): Oszillator, Rotator, H-Atom,... Auch bei Schrödingers ersten Rechnungen spielt die SGL als Bewegungsgleichung eigentlich eine untergeordnete Rolle. Es geht vielmehr darum, sie für spezielle Fälle zu lösen (die passenden Lösungsmethoden zu finden) und diese Lösungen zu interpretieren und in Bezug zur klassischen Mechanik zu setzen ->Wellenmechanik.

Mehr noch: Schrödinger hat mit seiner konsequenten Anwendung der Variationsprinzipien die Basis für Feldquantisierungen gelegt.

 

 

 

Beispiele

 

Kategorisierung nach Potentialen und Anwendungen

 

 

Potential

const

x

x^2

-1/|x|

Eigenwerte

Kontinuum und

n^2

n+1/2

-n^2/2 und Kontinuum

Eigenfunktionen

sin, exp

Airy

H(x)*exp(-x^2/2)

L(x)*exp(-x)

 

Anwendung

Topf, Stufen,

Doppelspalt,

Tunneleffekt (immer),

 

Halbleiter,

 

-> Streutheorie (Kontinuum)

„einseitig begrenzt“

 

Kondensate, Atomoptik

Falle, Mulde, Landau,

Kondensate, Atomoptik,

_____________

gleiche EF und EW in der

Quantenoptik,

(Cavity)

-> Feldquantisierung,

Photonen

Atomphysik,

 

„reale Situation“

 

->

 

Störungstheorie

 

 

 

Eigenfunktionen und Eigenwerte für verschiedene Potentiale

 

-          exakt

-          numerisch mit Animationen

-          Allround-Prozedur für „beliebige Potentiale“

 

 

Harmonischer Oszillator

 

-          Theorie: Gauß-Paket einsetzen,  Operatoren, Reihenentwicklung

-          Harmonischer Oszillator vertieft:  Überlagerung stationärer Zustände mit beliebigen Verteilungen (Gewichten), u.a. kohärent (Schrödinger) , squeezed states (Quantenoptik) – stark gekürzte Fassung.

 

 

Feynmans Bewegungsgleichung: Propagatoren für Oszillator, Gaußspalt und freies Teilchen (stark gekürzt).

 

 

Wer nicht alles selbst programmieren will, kann fertige Maplets verwenden (ab Maple 8). 

Hier ist ein Beispiel, wie man mit der neuen graphischen Oberfläche mit Schiebereglern Maple steuern kann:

Maplet(vorläufige Fassung zum Zeichnen der Wellenfunktion im quadratischen und linearen Potential, Darstellung von H-Orbitals)

 


 

 

Was lernen wir daraus?

 

·         Zustände haben die (mathematische) Form . Darin ist die Wirkung S(x,t) oder der Impuls p(x) zu gegebenem V(x) bekannt:

o        Wellen mit ortsabhängiger Wellenlänge für reellen Impuls (vgl. ortsabhängige Brechungszahl).

o        Exponentielles Verhalten für imaginären Impuls: Diffusion, Tunneleffekt.

o        Die „Amplitude“ A kann aus der Kontinuitätsgleichung und der Normierung bestimmt werden: Man benötigt im Prinzip keineBewegungsgleichung (-> Superpositionsprinzip, Pfadintegrale).

o        Wahrscheinlichkeitsdichte: , also

 

·         Die Schrödingergleichung muss nicht „sinnvoll erraten“ werden, sondern kann hergeleitet werden. Sie ist eine von mehreren möglichen Beschreibungen der zeitlichen Entwicklung und räumlichen Verteilung eines Zustands.

·         Eine besonders wichtige Rolle spielen stationäre Zustände (scharfe Energie E). Für sie gilt die „stationäre Schrödingergleichung“      

o        , reelles und imaginäres p s.o.

o        Die Lösungen der stationären SGL sind Eigenfunktionen zu Eigenwerten.

o        Die Eigenwerte haben je nach Potentialtyp ein diskretes oder kontinuierlichesSpektrum (oder beides).


·         Die Wellenfunktion  kann nach Eigenfunktionenentwickelt  werden. Die Energie ist dann nicht scharf: Übergänge.

 

 

 

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