To catch and reverse a quantum jump...

Und die Theorie dazu?   English

Das Zitat von E.T. Jaynes ist vielleicht nicht so bekannt wie Schrödingers "In the first place it is fair to state that we are not experimenting with single particles, any more than we can raise Ichthyosauria in the zoo." (Are There Quantum Jumps? Part I, The British Journal for the Philosophy of Science, 3, (1952), 109-123 [B 12]), und natürlich ist Schrödingers Katze noch bekannter. Dabei geht es immer um das gleiche Problem: beschreibt die Quantentheorie (QT) das Verhalten eines Ensembles oder einzelner Teilchen? Und es schließt sich die Frage an, ob es einen "objektiven Zufall" der QT gibt, oder eine deterministische "Entwicklung des Individuums" (Katze, Saurier oder Atom) kontinuierlich abläuft, oder erst bei einer Beobachtung auf einen Wert "springt". Ganz  zu schweigen von der Vielzahl der Interpretationen der QT, mit denen man versucht, diese Widersprüche unter den Teppich zu kehren.
Zum Glück gibt es aber Experimente! Ja - man kann mit einzelnen Atomen experimentieren, spätestens seit Dehmelt, aber man kann inzwischen auch "künstliche Atome" herstellen, die sich "makroskopisch manipulieren lassen". D.h., es gibt keine scharfe Grenze mehr zwischen der Quantenphysik und der klassischen Physik  (falls es die je gegeben hat).
Eines dieser neueren Experimente ist Minevs "To catch and reverse a quantum jump mid-flight". Es basiert auf der Idee von Dehmelt, das Verhalten des Individuums indirekt zu beobachten: Ein künstliches Atom mit drei Niveaus (V-Schema) wird simultan zu zwei Übergängen angeregt. Davon fluoresziert einer (= hell), der andere ist metastabil (= dunkel). Bleibt das helle Signal aus, ist das ein Indiz dafür, dass sich das Atom im "dunklen Zustand" befindet, oder sich gerade auf den Weg dorthin macht. Zu Dehmelts Zeiten hat man das resultierende "Telegraphensignal" als Beleg für instantane Quantensprünge interpretiert. Minevs Experiment zeigt aber (ein Mal mehr), dass der Übergang zum dunklen Zustand in endlicher Zeit kontinuierlich abläuft, und sogar umgekehrt werden kann. Höchste Experimentierkunst!
Die Kunst besteht nämlich darin, den richtigen Moment, in dem sich das Individuum scheinbar zufällig dazu entschließt, metastabil zu werden, abzupassen, wobei man auf das Ensemble (also millionenfache Beobachtung) angewiesen ist.
Gibt es eine Theorie dazu? Ja, sogar mehrere. Eine davon nennt sich Quantum Trajectory Theory (QTT): Man verlagert den "objektiven  Zufall der Quantenphysik" in das Ensemble und konstruiert mit Hilfe einer "stochastischen Schrödingergleichung" und "Superoperatoren" "Quantentrajektoriern", die von "allwissenden Beobachtern" ausgelost werden (Grüße aus Monte Carlo). Falls das Los auf einen Übergang zum dunklen Zustand fällt, beschreibt man diesen Übergang mit der ganz normalen (deterministischen und linearen) Schrödingergleichung.
Allerdings ergibt sich daraus ein weiteres Problem: die lineare Schrödingergleichung führt immer auf lineare Differentialgleichungssysteme, also auf (eine Summe von) Exponentialfunktionen als Lösung (siehe Weisskopf-Wigner). Der von Minev et al. gemessene zeitliche Verlauf des Übergangs wird aber durch eine tanh-Funktion beschrieben (Kurvenfit), die typisch für einen nichtlinearen Vorgang ist.

Wir wollen uns deshalb näher ansehen, ob man wirklich aus einer linearen Theorie (QTT) ein nichtlineares Ergebnis herleiten kann.

Aus arXiv:1803.00545v3 [quant-ph] 12 Feb 2019, Supplement Seite 4:  

Supplement Seite 5: 

Rein mathematisch gesehen kann man das Vorgehen zur Herleitung von (5) in eine "Exakte Lösung (3x3-System)" und eine "Näherungslösung (2x2-System)" unterteilen:

Exakte Lösung (3x3-System)
(Die Labels ganz rechts, beginnend mit (2.1), stammen aus einem Maple-Worksheet)

Zu (1) "if we then define":  

Mit der Definition 

(2.1)

 

wird die "übliche Schreibweise der Inversion" (Betragsquadrate der Amplituden = Dichten) 

(2.2)

 

zu 

(2.3)

 

Man fragt sich, wozu diese Definition gut sein soll (ebenso für die X- und Y-Komponente des Blochvektors). 

Zu (2) "In general this 3 x 3 system does not have a closed solution in simple form": 

Zustand des Atoms mit G = ground, B = bright, D = dark: 

(2.4)

 

Also eine Superposition von 3 Zuständen mit den Amplituden c. 

Mit der Gleichung (5) (Supplement Seite 4) erhält man die Matrix

(2.5)

und das 3x3-Differentialgleichungssystem für die Amplituden

(2.6)

oder 

(2.7)

Man beachte: Ein angeregter Zustand (B oder D), der "spontan zerfällt" (γ), ändert in dieser Darstellung den Grundzustand G nicht (zerfällt ins Nirgendwo)!

Dabei handelt es sich um ein homogenes lineares DG-System mit konstanten Koeffizienten. Die Lösungen solcher DG-Systeme bestehen immer aus Linearkombinationen von Exponentialfunktionen (ggf. im Komplexen), können allerdings auch "keine einfache Form" haben, wenn z.B. eine kubische Gleichung für die Eigenwerte gelöst werden muss. 

In diesem Fall lautet der reelle (in jedem Fall relle) Eigenwert z.B. 

(2.9)

Es existiert also eine geschlossene Lösung (eine numerische gibt es immer), die aber mit Maples Lösungsalgorithmus so umfangreich ist, dass sie "keine einfache Form" hat (die Ausgabe umfasst mehr als 1 Million Zeichen :).  

Man kann sie aber graphisch darstellen, z.B. die 

Betragsquadrate der Amplituden c: 

Rot: Grundzustand (G), Grün: dunkler Zustand (D), blau: heller Zustand (B), Werte der vier Parameter in MHz, Animationen im Sekundentakt.  

1. Größenordnung der Zahlen wie in Minev et al. (s.u. Quellen), die Zerfallsrate des dunklen Zustands wird verändert. 

 

   

Die Amplitude des hellen Zustands ist praktisch Null!

2. Wie 1., aber mit kleiner Zerfallsrate des hellen Zustands, der nun sichtbar wird. 

 

3. Die Rabi-Frequenz des DG-Übergangs wird verändert. Weiterhin "gedämpfte Schwingung". 

 

   

4. Zusätzlich dargestellt die Inversion Z (hellblau). Die Rabi-Frequenz des BG-Übergangs wird verändert. Übergang von Z periodisch, zu Z aperiodisch. 

 

 

5. Amplitudenquadrate von G und D um den Faktor 100 vergrößert. Ω_DG wird verringert. Z wird aperiodisch und nähert sich einer "tanh-Kurve", weil die Nullstellen von c_G und c_D "verschwinden" (Rabi-Frequenz → 0), und c_D/c_G~exp(k*t) wird (vgl. kurzlebige Mutter, langlebige Tochter). 

 

 

 

 

 

Man kann aber auch einfach Zahlen einsetzen, um die einfache Form der Lösung zu sehen, z.B.: 

(2.10)

 

ergibt

(2.11)

 

(2.12)

 

also die erwähnte Linearkombination von Exponentialfunktionen (hier mit reellen Eigenwerten).

Problematisch:
- Es wird eine Superposition von drei Zuständen angesetzt (nicht normiert). Alle drei Zustände klingen exponentiell ab. Das Atom befindet sich also am Ende in keinem der drei Zustände! Gleichwohl nähert sich die Inversion dem Wert "1 = 0/0" (wie beim radioaktiven Zerfall mit kurzlebiger Mutter und langlebiger Tochter). M.a.W. die Inversion Z ist eine prozentuale Größe (die den Zustand automatisch renormiert), sagt aber wenig über den (absoluten) Zustand des Atoms aus!
- Die Lösung des 3x3 Systems wird in einem Artikel von Porrati und Putterman 1989 (s.u. Quellen) ausführlich behandelt, es wird aber nur der Artikel von Porrati und Putterman 1987 zitiert.

Näherungslösung (2x2-System)

Zu (3)  "although there is a particularly simple solution under conditions that produce intermittent fluorescence" 

Die im Prinzip bekannte Lösung des 3x3 Systems wird nicht verwendet. Stattdessen wird eine Näherung eingeführt (die aber nur in der Dissertation zu finden ist): Die zeitliche Änderung des hellen Zustands (B) wird Null gesetzt, womit sich der helle Zustand aus dem 3x3-Sytem eliminieren lässt, und sich ein homogenes lineares 2x2-DG-System mit konstanten Koeffizienten ergibt (in der klassischen Mechanik denkt man an "gedämpfte gekoppelte Schwingung", in der QO an "Rabi-Oszillationen"):

(3.1)

Die Lösung dieses DG-Systems lautet in geschlossener Form: 

(3.3)

 

(3.4)

 

Also eine exakte und überschaubare Lösung, die sich natürlich auch ohne CAS berechnen lässt. 

Anstelle von Animationen hier nur ein paar Beispiele, wie man mit Maple mit Schiebern die Parameter einstellen kann, z.B. für die Amplituden 

C_G und C_D  (rot und blau)

 

oder die Komponenten Z und X des Bloch-Vektors  (Z rot und X blau):

Mit einem Zoom (geänderte Bereiche der Schieber)  kann man sich sogar einer "tanh-Kurve" nähern...

Mit der exakten Lösung des 2x2-Systems lässt sich also gut untersuchen, wie sich die Änderung der vier Parameter auf die Rabioszillationen eines 2-Niveaux-Systems auswirken. Aber auch diese vereinfachte Lösung (particularly simple solution!) wird nicht verwendet, um den GD-Übergang direkt zu beschreiben. Stattdessen wird mit der Definition (1) für W und dem 2x2-System eine Bewegungsgleichung für W auf gestellt: 

Zu (4) Bewegunsgleichung für W 

Das 2x2-System (s.o., (3.1)) lautet 

(3.5)

Mit der Definition (1) für W 

(3.7)

erhält man als Bewegungsgleichung für W:  

(3.8)

Einsetzen der zeitlichen Ableitungen der c aus dem 2x2-System liefert 

(3.12)

 

Die Lösung W(t) dieser DGL ist eine tan-Funktion, die auch für negative Radikanden der Wurzel keine tanh-Funktion wird: 

(3.13)

 

Aber auch diese exakte Lösung wird nicht verwendet (aus gutem Grund: sie ist "unphysikalisch"). Stattdessen wird die Bewegungsgleichung für W durch diese Näherung ersetzt 

 

in der aber über die oben genannte Näherung hinaus auch noch das in W quadratische Glied fehlt, was nur für W < 1 Sinn machen würde. Mit diesen Vereinfachungen (und der Vernachlässigung eines Summanden -1) erhält man dann für W eine Exponentialfunktion, und schließlich 

Zu (5)

 

Diese Gleichungen werden dann zum Fit der experimentellen Daten verwendet. 

Problematisch bei der ganzen Herleitung ist vor allem das Ergebnis: Der zeitliche Verlauf des Übergangs vom Grundzustand (G) zum dunklen Zustand (D), also der beobachtete "deterministische Quantensprung", hängt nicht von den Kenngrößen (Zerfallskonstante und Rabifrequenz) des dunkeln Zustands ab, sondern wird ausschließlich durch die Kenngrößen des hellen Zustands (B) bestimmt. Zur Erinnerung: Die Amplitude des hellen Zustands ist "für alle Zeiten" theoretisch fast gleich Null!

Darüber hinaus steht die folgende im Artikel selbst vorgestellte Messung im Widerspruch zur aufgestellten Theorie: 

Zitat aus Nature 570, 200–204 (2019). https://doi.org/10.1038/s41586-019-1287-z 

 

 

Man beachte: "b, Success probabilities P_G (purple) and P_D (orange) to reverse to |G〉 and complete to |D〉 the quantum jump mid-flight at Δt_catch = Δt_mid, with θ_I = π/2, in the presence of the Rabi drive Ω_DG."

Mit der Formulierung "Erfolgs-Wahrscheinlichkeit P_G, den Übergang umzukehren (oder nicht)", ist wohl die Dichte (Population) des einen oder anderen Zustands (G oder D) gemeint.
D.h., es wurde P_G = C_G² ~ (1-tanh(kt/2))/2 gemessen (Abb. c, zeitverschoben), was im Widerspruch zum linearen Ansatz der "ganzen Theorie" steht.
Anm.: Mit C_G² ~ (1-tanh(kt/2))/2 folgt Z~tanh(kt/2), was sich am einfachsten zeigen lässt, wenn man mit Dichten anstelle von Amplituden rechnet, siehe z.B. Spontane Emission. Für die Amplituden hätte man dann Differenzialgleichungen der Form

also nichtlineare D-Gleichungen, die sich mit der QTT (und der dort verwendeten linearen Schrödinger-Gleichung) nicht darstellen lassen.

Zusammenfassung 

1. Mit der QTT wird ein 3x3-DG-System für die Amplituden aufgestellt, das eine exakte aber unhandliche Lösung hat (kubische Gleichung). 

2. Die Lösung des 3x3-Systems würde für die Inversion Z eine tanh-ähnliche Funktion liefern, also die Messung "bestätigen" (als Kurvenfit). Die Amplituden und Dichten wären aber "Zerfallskurven" (und nicht tanh). 

3. Die im Prinzip bekannte Lösung des 3x3-Systems wird nicht verwendet, sondern ein 2x2-System aufgestellt, indem der helle Zustand konstant gesetzt wird. 

4. In dem damit beschriebenen 2 Niveaux-System wird eine Bewegungsgleichung für den Quotienten W der Amplituden c aufgestellt, die mit weiteren Näherungen "gelöst" wird (die exakte Lösung wäre "unphysikalisch"). 

5. Das Ergebnis dieses Vorgehens (dieser Kette von Näherungen und Vereinfachungen) ist eine tanh-Funktion, mit der man einen Kurvenfit für die Inversion Z machen kann, wobei die Zerfallsraten als "freie Parameter" (die nicht gemessen werden) dienen. Insbesondere kommt in diesem Ergebnis, das den Übergang zum dunklen Zustand beschreiben soll, der dunkle Zustand nicht vor, sondern der zeitliche Verlauf des Übergangs wird ausschließlich durch die Kenngrößen des hellen Zustands beschrieben. 

6. Die Messung der Zustandsdichte P_G zeigt einen tanh-Verlauf, im Widerspruch zu den Amplituden/Dichten der aufgestellten Theorie. 

7. Ein tanh-Verlauf der Dichten würde ebenfalls auf einen tanh-Verlauf der Inversion führen, lässt sich aber nicht aus der linearen Schrödingergleichung herleiten, auch nicht mit QTT. 

8. Eine konsistente Behandlung atomarer Übergänge ist in Ensemble - Individuum, bzw. in Über die spontane Emission von Photonen zu finden. Zitat mit den Bezeichnungen von dort:

"Die Änderung des Grundzustands  ρ_gg ist dem Quadrat des Dipolmoments ρ_gg (1-ρ_gg) = abgestrahlte Leistung proportional. 

Stellt man diesen physikalischen Sachverhalt in den Vordergrund und gibt nicht ein "exponentielles Abklingen" als Lösung vor, so erhält man mit der Proportionalitätskonstanten k die Differentialgleichung: 

 

auch bekannt als die logistische Differentialgleichung. Sie hat die "standartisierte" Lösung (ρ_gg(0)=1/2): 

 =  

auch bekannt als logistische Funktion, oder kumulative logistische Verteilung."

Die Frage ist nun, wie man durch eine Reihe von Näherungen ausgerechnet auf eine tanh-Lösung kommen kann, die schon der Neoklassik bekannt war, ohne die Neoklassik (z.B. E.T. Jaynes) zu zitieren. 

9. Die Zerfallskonstanten werden im Experiment nicht direkt bestimmt, sondern dienen als "freie Parameter", die berechnet/angepasst werden.

10. In dem Übergang zum dunklen Zustand kommt in der Zeitkonstante nur der helle Zustand vor. (Nur die Amplitude von W wird durch die Rabifrequenz des dunklen Zustands mit-bestimmt.)

11. Ein Wert für die Zerfallskonstante des dunklen Zustands ist in dem Artikel nirgends zu finden. Sie wird durch die Annahme γ_D → 0 eliminiert. 

Quellen:

Minev et al.:
- Dissertation: Catching and Reversing a Quantum Jump Mid-Flight, Zlatko Kristev Minev 2018, https://arxiv.org/pdf/1902.10355.pdf
- arXiv: "To catch and reverse a quantum jump mid-flight":
arXiv:1803.00545v3 [quant-ph] 12 Feb 2019, https://arxiv.org/abs/1803.00545
- Nature 570, 200–204 (2019). https://doi.org/10.1038/s41586-019-1287-z,
https://www.nature.com/articles/s41586-019-1287-z

Porrati et al.:
- M. Porrati, S. Putterman, Phys. Rev. A36, 929 (1987)
Wave-function collapse due to null measurements: the origin of intermittent atomic fluorescence.
- M. Porrati, S. Putterman, Phys. Rev. A39, 3010 (1989)
Coherent intermittency in the resonant fluorescence of a multilevel atom.